韩国法务部打击非法滞留的黑工主要通过以下几种方式：依据《刑法》等相关法律法规，对非法行为进行调查、抓捕和审判。通过收集社会情报，发现非法打工者的行为，并采取行动抓捕。组建由警察、检察官、法官等组成的专案组，专门负责打击非法打工行为。鼓励公众